Sphere(球)の体積を,Cone(円錐)とCylinder(円柱)より求めてみましょう. Cavalieri(カバリエリ)の原理を用います. これは17世紀,イタリアの数学者であったBonaventura Cavalieriの提唱した原理で,"切り口の断面積が常に等しい2つの物体の体積は等しい"というものです. どの高さで切断しても2つの物体の断面積が等しければ,体積は等しいというこの考え方は,積分法の先駆けとなるアイディアでした.
HemisphereとCylinder
$$ V_{cylinder}' = \pi r^3 $$
このCylinderの中身が,半径と高さが$ r $のConeにてくりぬかれているので,実際の体積$ V_{cylinder}' $は次式です.
$$ \begin{aligned}
V_{cylinder} &= V_{cylinder}' - V_{cone} \\[1em]
&= \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 \\[1em]
&= \frac{2}{3} \pi r^3
\end{aligned} $$
この体積がHemisphereの体積$ V_{hemisphere} $と等しいということが,Cavalieriの原理により判っていますので,
$$ V_{cylinder} = V_{hemisphere} $$
Sphereの体積$ V_{sphere} $は,Hemisphereの体積$ V_{hemisphere} $の2倍なので,
$$ \begin{aligned}
V_{sphere} &= 2 \cdot V_{hemisphere}\\[1em]
&= \frac{4}{3} \pi r^3
\end{aligned} $$
CylinderとConeの体積で,Sphereの体積を求めることが出来ました. 驚くべき事実です. さて,次の項では切断位置(高さ)$ c $におけるそれぞれの断面積を求めて行きます. それら断面積が等しければ,上に示した様にCavalieriの原理が適用出来,球の体積が上式と成ることを確認出来ます.
Hemisphereの切断面積を求める
$$ r^2 = x^2 + c^2 $$
黄色の三角形の斜辺はHemisphereの半径$ r $です. 今求めたい長さは断面の半径$ x $なので,上式を$ x $について解きます.
$$ x = \sqrt{r^2 - c^2} $$
よって断面積は次式と成ります.
$$ \begin{aligned}
S_{hemisphere} &= \pi x^2 \\[.5em]
&= \pi \left( r^2 - c^2 \right)
\end{aligned} $$
切断面の高さ$ c $は$ 0 $(Hemisphereの底面)から$ r $(頂点)まで成り得ます. もし$ c = 0 $ならば,断面積は$ \pi r^2 $に成り,$ c = r $ならば断面積は$ 0 $になるので,どうやら上の式は正しそうです.Cylinderの切断面積を求める
$$ \begin{aligned}
S_{cylinder} &= S_{cylinder}' - S_{cone} \\[1em]
&= \pi r^2 - \pi c^2 \\[1em]
&= \pi \left( r^2 - c^2 \right)
\end{aligned} $$
これは,Hemisphereの断面積とまったく等しいものです. よって,Cavalieriの原理が適用出来ることが代数的に確かめられた訳です.
結論
3629686792115472501
https://www.storange.jp/2014/08/cavalieris-principle.html
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Cavalieri's Principle
2014-08-17T19:24:00+09:00
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Hideyuki Tabata
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