Cavalieri's Principle

Sphere(球)の体積を,Cone(円錐)とCylinder(円柱)より求めてみましょう. Cavalieri(カバリエリ)の原理を用います. これは17世紀,イタリアの数学者であったBonaventura Cavalieriの提唱した原理で,"切り口の断面積が常に等しい2つの物体の体積は等しい"というものです. どの高さで切断しても2つの物体の断面積が等しければ,体積は等しいというこの考え方は,積分法の先駆けとなるアイディアでした.

HemisphereとCylinder

左図にはHemisphere(半球)とCylinderが描かれています. 今回の前提は,HemisphereとCylinderの半径が共に$ r $であることと,Cylinderの高さ$ h $も$ r $に等しいということです. また,よく見るとCylinderはその中身が,半径と高さが$ r $のCone状にくりぬかれています. 図中を上下移動している枠は切断面を表しています. 切断位置$ c $が最も下にある時を$ c = 0 $とし,最も上にある時を$ c = r $とした時,次の項で説明するようにHemisphereとCylinderの断面積は常に等しく成ります. Cavalieriの原理より図のHemisphereと,くりぬかれたCylinderの体積はまったく等しいことが判るのです. Cylinderの体積$ V_{cylinder}' $は,その高さ$ h $が半径$ r $と等しいので次式に成ります.
$$ V_{cylinder}' = \pi r^3 $$
このCylinderの中身が,半径と高さが$ r $のConeにてくりぬかれているので,実際の体積$ V_{cylinder}' $は次式です.
$$ \begin{aligned} V_{cylinder} &= V_{cylinder}' - V_{cone} \\[1em] &= \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 \\[1em] &= \frac{2}{3} \pi r^3 \end{aligned} $$
この体積がHemisphereの体積$ V_{hemisphere} $と等しいということが,Cavalieriの原理により判っていますので,
$$ V_{cylinder} = V_{hemisphere} $$
Sphereの体積$ V_{sphere} $は,Hemisphereの体積$ V_{hemisphere} $の2倍なので,
$$ \begin{aligned} V_{sphere} &= 2 \cdot V_{hemisphere}\\[1em] &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{aligned} $$
CylinderとConeの体積で,Sphereの体積を求めることが出来ました. 驚くべき事実です. さて,次の項では切断位置(高さ)$ c $におけるそれぞれの断面積を求めて行きます. それら断面積が等しければ,上に示した様にCavalieriの原理が適用出来,球の体積が上式と成ることを確認出来ます.

Hemisphereの切断面積を求める

右図はHemisphereを横から見た図です. 右半分のみ描かれています. 切断高さ$ c $におけるHemisphereの切断面を紫色の横線で表しています. Hemisphereの断面は必ず円になるので,その半径が判れば断面積も求まります. そこで,今から求めようとしている断面の半径を$ x $としましょう. 切断高さ$ c $とHemisphereの半径$ r $,そして断面の半径$ x $という3つの辺から黄色の三角形を描くことが出来ます. この時,$ \alpha $が何度であろうと三角形の斜辺はHemisphereの半径$ r $になることがミソです. この三角形は直角三角形なので,Πυθαγόρας (Pythagoras:ピタゴラス)の定理を適用できます. 三角形の斜辺の2乗は,他の辺の2乗の和に等しいという定理です. この定理より,次式が成り立ちます.
$$ r^2 = x^2 + c^2 $$
黄色の三角形の斜辺はHemisphereの半径$ r $です. 今求めたい長さは断面の半径$ x $なので,上式を$ x $について解きます.
$$ x = \sqrt{r^2 - c^2} $$
よって断面積は次式と成ります.
$$ \begin{aligned} S_{hemisphere} &= \pi x^2 \\[.5em] &= \pi \left( r^2 - c^2 \right) \end{aligned} $$
切断面の高さ$ c $は$ 0 $(Hemisphereの底面)から$ r $(頂点)まで成り得ます. もし$ c = 0 $ならば,断面積は$ \pi r^2 $に成り,$ c = r $ならば断面積は$ 0 $になるので,どうやら上の式は正しそうです.

Cylinderの切断面積を求める

右図はCylinderを横から見た図です. 右半分のみ描かれています. 切断高さ$ c $におけるCylinderの切断面を紫色の直線で表しています. Cylinderも,くりぬいているConeも回転体なので,その断面は円に成ります. また切断面積は,Cylinderの断面積からConeの断面積を引いた値に等しくなることが図から読み取れます. このCylinderは,半径と高さが同じConeによってくりぬかれているので,図中の$ \alpha $は45度に成ります. よってCone部分の断面積の半径は,切断高さ$ c $と等しくなります. 図中,黄色の直線がそれを表しています. Cylinderの半径は切断高さ$ c $に関わらず常に$ r $なので,断面積は次式に成ります.
$$ \begin{aligned} S_{cylinder} &= S_{cylinder}' - S_{cone} \\[1em] &= \pi r^2 - \pi c^2 \\[1em] &= \pi \left( r^2 - c^2 \right) \end{aligned} $$
これは,Hemisphereの断面積とまったく等しいものです. よって,Cavalieriの原理が適用出来ることが代数的に確かめられた訳です.

結論

以上,Cavalieriの原理によりCone状にくりぬかれたCylinderとHemisphereの体積が等しいことが判り,その事実を応用してSphereの体積を求めました. この事実は左図を見ると納得出来ることでしょう. この図はZachary Abel氏のブログ"Three-Cornered Things"に掲載されている物です. 終わりに. ここで行っていることは数学的な証明ではありません. メモ程度の記録です. そのため,数学において大切な要素である定義や証明をいくつも省略しています. また,説明も決して厳密ではありません. しかし,そこから得られた結果は真実です.
3629686792115472501 http://www.storange.jp/2014/08/cavalieris-principle.html http://www.storange.jp/2014/08/cavalieris-principle.html Cavalieri's Principle 2014-08-17T19:24:00+09:00 http://www.storange.jp/2014/08/cavalieris-principle.html Hideyuki Tabata 200 200 72 72