フラクタルとは?

フラクタル図形。
数学の世界の美しい図形の一。
この記録ではそんなフラクタル図形を紹介します。
まずはフラクタルへの入り口となる相似次元について少し紹介します。

相似次元

相似次元とはなにか?

下にある式は、未知なる相似次元の世界を案内してくれます。
$$ N = r ^ D $$
$ D $ は次元の数
$ r $ はスケール
$ N $ は分割数

色々と説明をするよりも、これがどんな式なのか、次の図形で試してみましょう。

次元が2、スケールが3の図形を考える

まず、次元数$ D = 2 $なので、この図形は2次元図形であることが分かります。2次元とは縦と横、2つの自由度を持つ次元、2つの値を決めればある1点が決まる、そんな次元です。そこに好きな図形を描きます。今回は分かりやすく正方形を描いてみました。

スケール(縮尺)$ r = 3 $
いま考えている図形(正方形)全体の面積を1としましょう。スケールは3なので、$ 1/3 $に縮尺した同じ図形でこの正方形を埋めて行きます。もちろん面積は$ 1/r $です。

さて、このスケールで正方形を埋めると、ぴったり9個の自己相似図形が入りました。これが式で言う$ N = 9 $です。最初に紹介した式に$ D = 2 $、$ r = 3 $を代入して計算すると$ N = 9 $となります。これは"2次元上においてスケール(縮尺が)3な自己相似図形が9個あれば同じ図形(今回は正方形)の中にぴたりと収まる"ということを意味していると同時に、式が成り立ったということは"上の図形が相似次元上の自己相似図形である"と証明できたことになります。

自己相似な図形とは

ある図形全体の形がその図形の一部にも見られる図形のこと。ある図形の一部を拡大すると、その図形と同じ形(自己に相似な形)がその一部にも見えてくる。相似次元に図形を描くと、それらはみな自己相似な図形になる。
上の例を参考に、次元とスケールをそれぞれ変えながらいくつか自己相似図形を描きました。

スケールと次元がそれぞれ違う9つの図形
これら9つの図形は全て”自己相似な図形である”と言えます。

フラクタル図形

今まで紹介してきた相似次元の次元数はすべて整数でした。
1次元2次元3次元
しかし、相似次元では次元数が非整数(小数を含む数)になるような図形もあります。
0.631次元、 1.585次元、 0.727次元、
これらのように次元数が非整数になる図形のことを、
フラクタル図形
と呼んでいます。 今回の記録では自己相似図形とそれを表す式、フラクタルが実数次元であることを紹介しました。次の記録でもう少しフラクタルの世界を探検してみましょう。
次の記録: フラクタル図形をつくる

画像引用/参考元

4645247132637257870 http://www.storange.jp/2012/08/blog-post_23.html http://www.storange.jp/2012/08/blog-post_23.html フラクタルとは? 2012-08-23T18:23:00+09:00 http://www.storange.jp/2012/08/blog-post_23.html Hideyuki Tabata 200 200 72 72